layout: true class: typo, typo-selection --- count: false class: nord-dark, middle, center # 🌌 空间相关性的分析与建模 @luk036 👨‍💻 · 2026 📅 --- ## 🔑 核心概念 .pull-left[ - **DFM** 可制造性设计 🏭 - **Process variation** 工艺偏差 📏 - **Spatial Correlation** 空间相关性 - **Test Chip** 测试芯片 🔬 - 建模方法 - Gaussian Process 高斯过程 - Isotropic 各向同性 ⚪ - Anisotropic 各向异性 🔶 - Covariance 协方差 ↔️ - Positive definite 正定 ✅ - Matérn function - 参数估计 - Least square fitting 最小二乘 - Maximum Likelihood 最大似然 ] .pull-right[  ] --- ### 📊 统计基础 - 相关 ≠ 因果 (Correlation does not imply causation) ❌➡️❓ - 辛普森悖论 (Simpson's Paradox) 🤯 - 正态分布且不相关 ≠ 独立 ⚠️ - 中心极限定理仅适用于i.i.d.情况 ⚖️ --- ### 🎯 研究动机 随着工艺节点进步，关键参数偏差显著增大： - 有效沟道长度 📏 - 阈值电压 (${\color{brown}V}_\mathrm{TH}$) ⚡ - 互连线宽度/高度 🧵 - 介质层厚度/介电常数 🛡️  --- ### 工艺偏差影响 ⚠️  --- ### 🏷️ 工艺偏差分类 #### 主要类型 - 沟道长度偏差 📏 - 沟道宽度偏差 ↔️ - 阈值电压偏差 ⚡ - 互连线偏差 🧵 #### 其他类型 - 电压降偏差 🔋 - 温度偏差 🌡️ - NBTI效应导致的可靠性偏差 ⏳ --- ### 📏 沟道长度偏差 光学临近效应导致强烈空间相关性 .pull-left[  ] .pull-right[  ] --- ### 📐 沟道宽度偏差 #### 主要来源 1. 光刻掩模板失配 🖼️ 2. STI工艺中CMP导致的沟槽凹陷 ⚒️ .pull-left[  ] .pull-right[  ] --- ### ⚡ 阈值电压偏差 MOS管尺寸缩小 → 随机掺杂扰动成为主因 .pull-left[  ] .pull-right[  ] --- ### 🛠️ 互连线偏差 ECP和CMP工艺导致： - 铜线碟陷 (dishing) 🍽️ - 介质层腐蚀 (erosion) 💧 .pull-left[  ] .pull-right[  ] 参考文献: <https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-75465-9>, 第1-3章 --- ### 🔬 测量方法 #### 物理测量 🔍 - SEM/AFM显微镜 🔬 - 厚度测量仪 📏 #### 电学测量 ⚡ - 晶体管I-V特性阵列 📈 - 四探针法 🔌 #### 数字测量 💻 - 环形振荡器频率测量 ⏱️ - SRAM阵列 🧠 --- ### 📏 沟道长度测量技术   --- ### 📊 互连线高度测量 MIT测试芯片研究ECP/CMP工艺影响  --- ### 📊 测量方法对比 物理测量（左） 🔍 电学测量（右） ⚡  --- ### ⚡ 阈值电压测量  --- ### 🏷️ 偏差空间分类 .pull-left[ #### 按范围分类 - 片间偏差 (inter-die) ↔️ - 批次间 (lot-to-lot) 📦 - 晶圆间 (wafer-to-wafer) 🍕 - 芯片间 (die-to-die) 🎲 - **片内偏差 (intra-die)** 🎯 ] .pull-right[  ] --- ### 🧩 片内偏差组成 1. **确定性部分** ✅ - 可解析表达 📝 - 可通过版图修正补偿 🛠️ 2. **纯随机部分** 🎲 - i.i.d.高斯随机变量 3. **空间相关部分** ↔️ - 光学临近效应导致 🌈 - 可用相关函数建模 📈 --- ### 📈 随机场理论 .pull-left[ #### 定义 - *随机场*，又称为*随机过程*，可以看作是用某种度量索引的随机变量族，记作$\{{\color{darkblack}\tilde{z}}(s)\}$ - 其中$s$是索引，如时间点、空间坐标等。 - 对于我们研究的空间相关性问题来说，需要利用的随机场是空间随机场$\{{\color{darkblack}\tilde{z}}(s): s \in D\}$ - 其中$D$是${\color{brown}d}$维欧几里德空间的子集，一般情况${\color{brown}d}$等于1或者2。 ] .pull-right[  ] --- ### 📊 随机场矩特征 - 数学期望，或均值： - ${\color{purple}\mu}(\tilde{s}) = \mathrm{E}[{\color{darkblack}\tilde{z}}(s)]$ - 表示在位置$s$确定的情况下对所有可能的${\color{darkblack}\tilde{z}}(s)$值求平均。 - 方差： - ${\color{green}\sigma^2}(s) = \mathrm{var}[{\color{darkblack}\tilde{z}}(s)] = \mathrm{E}[({\color{darkblack}\tilde{z}}(s) - \mathrm{E}[{\color{darkblack}\tilde{z}}(s)])^2]$ - 描述随机场${\color{darkblack}\tilde{z}}(s)$的所有样本对于其数学期望的偏离程度。 - 协方差： - ${\color{purple}C}(s_i, s_j) = \mathrm{cov}({\color{darkblack}\tilde{z}}(s_i), {\color{darkblack}\tilde{z}}(s_j)) = \mathrm{E}[({\color{darkblack}\tilde{z}}(s_i) - \mathrm{E}[{\color{darkblack}\tilde{z}}(s_i)]) ({\color{darkblack}\tilde{z}}(s_j) - \mathrm{E}[{\color{darkblack}\tilde{z}}(s_j)])]$ ↔️ - 反映随机场在任意两位置点处的起伏值之间的相关程度。 - 相关： - ${\color{purple}R}(s_i, s_j) = \mathrm{cor}({\color{darkblack}\tilde{z}}(s_i), {\color{darkblack}\tilde{z}}(s_j)) = {\color{purple}C}(s_i, s_j)/\sqrt{{\color{purple}C}(s_i, s_i){\color{purple}C}(s_j, s_j)}$ - 协方差的归一化形式，去除了起伏值强度的影响，能够确切表征随机场在两个位置点处的起伏值之间的线性相关程度。 --- ### 🏷️ 随机场分类 - 平稳性 - 严格平稳（strict stationarity，简称严平稳） ⚖️ - $({\color{darkblack}\tilde{z}}(s_1),\ldots,{\color{darkblack}\tilde{z}}(s_n))$和$({\color{darkblack}\tilde{z}}(s_1+h),\ldots,{\color{darkblack}\tilde{z}}(s_n+h))$的分布始终相同 - 宽平稳（weak stationarity，或二次平稳） - 数学期望函数 ${\color{purple}\mu}(s)={\color{purple}\mu}$ - 协方差函数 ${\color{purple}C}(s,s+{\color{brown}h})={\color{purple}C}({\color{brown}h})$ - 各向同性（isotropic） ⚪ - 二阶矩函数只与距离${\color{brown}h}$有关系 - 匀质各向同性随机场（Homogeneous Isotropic Field, HIF） 🌐 - 宽平稳且各向同性 - ${\color{purple}C}(s_i, s_j) = {\color{purple}C}({\color{brown}h})$ - 其中${\color{brown}h}$是$s_i$和$s_j$之间的空间距离${\color{brown}h}=\|s_i - s_j\|$ --- ### ✅ 协方差函数性质 **正定性要求**: 对任意$s_1,...,s_n$和${\color{brown}a}_1,...,{\color{brown}a}_n$，有 $$\sum_i \sum_j {\color{brown}a_i} {\color{brown}a_j} {\color{purple}C}(s_i, s_j) \geq 0$$ 且仅当所有${\color{brown}a}_i=0$时取等 → 并非所有函数都适合作为协方差函数 ⚠️ --- ### 📊 常用相关函数模型 .pull-left[ 常用的相关函数的形式： - 指数（Exponential）： - ${\color{purple}R}({\color{brown}h})={\color{blue}\exp(-{\color{brown}\alpha} {\color{brown}h})}$ - 高斯（Gaussian）： - ${\color{purple}R}({\color{brown}h})={\color{lime}\exp(-{\color{brown}\alpha} {\color{brown}h}^2)}$ - Matérn 🤔： - ${\color{purple}R}({\color{brown}h})={\color{red}\frac{({\color{brown}\alpha h})^{{\color{brown}\nu}}}{2^{{\color{brown}\nu}-1}\Gamma({\color{brown}\nu})} K_{{\color{brown}\nu}}({\color{brown}\alpha h})}$ - 其中$K_{{\color{brown}\nu}}$是${\color{brown}\nu}$阶第二类修正的贝塞尔函数（Bessel function），$\Gamma$是伽马函数（Gamma function）。 ] .pull-right[  ] --- ### ⚠️ Nugget Effect 零点不连续现象 .pull-left[  ] .pull-right[  ] --- ### 🧮 参数提取问题 .pull-left[ #### 定义 - 变异分解: ${\color{darkblack}\tilde{z}} = {\color{darkblack}z_c} + {\color{darkblack}\tilde{z}}_r + {\color{darkblack}\tilde{z}}_g$ 🧩 - 测量点: $s_1,...,s_n \in \mathbb{R}^{\color{brown}d}$ 📍 - 相关函数: ${\color{purple}R}({\color{darkmagenta}\Psi};{\color{brown}h})$ - ${\color{darkmagenta}\Psi}$: 参数向量 - 测量数据: ${\color{darkblack}z}_i(s_j)$ 📋 ] .pull-right[  ${\color{purple}R}({\color{brown}h}) = 2 \left(\frac{{\color{brown}b}{\color{brown}h}}{2}\right)^{{\color{brown}s}-1}K_{{\color{brown}s}-1}({\color{brown}b}{\color{brown}h})\Gamma({\color{brown}s}-1)^{-1}$ ] --- ### 📝 问题表述 .pull-left[ 给定测量数据${\color{darkblack}z}_i(s_j)$， 寻找使最小二乘误差最小的相关函数${\color{purple}R}({\color{darkmagenta}\Psi};{\color{brown}h})$ ⚠️ 注意：该问题是非凸的 🤔 ] .pull-right[  ] --- ### 🔄 空间相关性建模流程 .mermaid[ <pre> graph LR A(("测试芯片\n 测量数据")) --> B["提取样本\n 协方差"] B --> C["选择相关\n 函数模型"] C --> D["指数模型\n Exponential"] C --> E["高斯模型\n Gaussian"] C --> F["Matérn\n 模型"] D --> G[参数估计] E --> G F --> G G --> H["最小二乘\n 拟合"] G --> I["最大似然\n 估计"] H --> J{"模型\n 验证通过?"} I --> J J -->|是| K["空间相关\n 性模型"] J -->|否| C style A fill:#e3f2fd,stroke:#1565c0,stroke-width:3px style B fill:#fff3e0,stroke:#e65100,stroke-width:3px style C fill:#ffcdd2,stroke:#c62828,stroke-width:3px style D fill:#e3f2fd,stroke:#1565c0,stroke-width:3px style E fill:#e3f2fd,stroke:#1565c0,stroke-width:3px style F fill:#e3f2fd,stroke:#1565c0,stroke-width:3px style G fill:#fff3e0,stroke:#e65100,stroke-width:3px style H fill:#e3f2fd,stroke:#1565c0,stroke-width:3px style I fill:#e3f2fd,stroke:#1565c0,stroke-width:3px style J fill:#ffcdd2,stroke:#c62828,stroke-width:3px style K fill:#c8e6c9,stroke:#2e7d32,stroke-width:3px </pre> ] --- ### 💻 数据模拟生成 .pull-left[  四块样本芯片上的时延偏差 ] .pull-right[  模拟生成的偏差趋势 ] --- ### ⚙️ HIF高斯场生成算法 1. 用均匀格点采样策略或者蒙特卡洛采样策略产生代表测量位置的${\color{blue}N}$个测量点的坐标。 2. 求出测量点的距离矩阵${\color{red}D}$。 3. 由距离矩阵${\color{red}D}$和已知参数的Matérn函数求出${\color{blue}N}$个测量点的相关矩阵${\color{red}R}$。 4. 对相关矩阵${\color{red}R}$作Cholesky分解，${\color{red}R} = {\color{red}L}{\color{red}L}^\mathsf{T}$。 5. 产生一个${\color{blue}N}$维的列向量${\color{darkblack}x}$，它服从独立的联合标准正态分布，即${\color{darkblack}x}\sim N(0, I)$。 6. 产生一个N维列向量${\color{darkblack}z}$，${\color{darkblack}z} = {\color{green}\sigma} {\color{red}L} {\color{darkblack}x}$其中${\color{green}\sigma}$ 是随机场的标准差。现在${\color{darkblack}z}$就是相关矩阵为${\color{red}R}$的匀质各向同性高斯随机场的一个实现，即${\color{darkblack}z}\sim N(0, {\color{green}\sigma^2} {\color{red}R})$。 --- ### 🐍 Python实现代码 ```python # 参数设置 nx, ny = 10, 8 # 网格点数 s_end = [10., 8.] # 区域大小 sdkern = 0.1 # 核宽度 var = 2.0 # 标准差 tau = 0.00001 # 白噪声标准差 N = 100 # 样本数 # 生成采样点 sx = np.linspace(0, s_end[0], nx) sy = np.linspace(0, s_end[1], ny) xx, yy = np.meshgrid(sx, sy) s = np.array(zip(xx.flatten(), yy.flatten())) ``` --- ### 🐍 Python代码(续) ```python # 计算协方差矩阵 Sig = np.ones((n,n)) for i in range(n): for j in range(i,n): d = np.array(s[j]) - np.array(s[i]) Sig[i,j] = np.exp(-sdkern * np.dot(d,d)) Sig[j,i] = Sig[i,j] # 生成随机场样本 L = linalg.sqrtm(Sig) Ys = np.zeros((n,N)) for k in range(N): x = var * np.random.randn(n) y = L.dot(x) + tau*np.random.randn(n) Ys[:,k] = y Y = np.cov(Ys, bias=True) ``` --- ### 📊 偏样本协方差提取 1. 从每个测量点上的测量值中减掉该测量点测量值在所有芯片上的平均值。对第${\color{brown}m}$ 块芯片上位置$s_i$\_处的测量值来说，这一过程可以表示为: $${\color{blue}y_m}(s_i) = {\color{darkblack}z}_m(s_i) - \frac{1}{{\color{blue}M}} \sum_{m=1}^{{\color{blue}M}} {\color{darkblack}z}_m(s_i)$$ 2. 测量数据矩阵${\color{red}Z}$的有偏样本协方差估计${\color{red}Y}$ $${\color{red}Y} = \frac{1}{{\color{blue}M}} \sum_{m=1}^{{\color{blue}M}} {\color{blue}y_m} {\color{blue}y_m}^\mathsf{T}$$ --- ### 🔍 最大似然估计 - 矩阵${\color{red}A}$的迹（trace）指的是${\color{red}A}$中所有对角元位置上的元素的和，记作$\mathrm{tr}({\color{red}A})$ - 定义： ${\color{darkmagenta}V}({\color{darkmagenta}\kappa}, {\color{darkmagenta}\Psi}) = {\color{purple}R}({\color{darkmagenta}\Psi}) + {\color{darkmagenta}\kappa} \mathrm{I}$, - 对数联合似然函数: $$\log L_0({\color{darkmagenta}\kappa}, {\color{darkmagenta}\Psi}) = - \log\det {\color{darkmagenta}V} - {\color{blue}N} \log(\mathrm{tr}({\color{red}Y} {\color{darkmagenta}V}^{-1})).$$ --- ### 📈 方法比较  --- ### ⚠️ 参数化提取局限 1. 工艺偏差可能非平稳/各向异性 🤔 2. 求解困难，可能无法找到最优解 🧩 3. 实际相关函数可能不符合Matérn形式 --- ### 📚 参考文献 - 付强，纳米工艺下VLSI设计中空间相关性的分析建模，博士论文，复旦大学，2009 🎓 - Qiang Fu, Wai-Shing Luk, Jun Tao, Changhao Yan, Xuan Zeng, "Characterizing intra-die spatial correlation using spectral density fitting method", IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences (SCI), vol. E92-A, no. 7, pp. -, Jul. 2009 📄 - Qiang Fu, Wai-Shing Luk, Jun Tao, Changhao Yan, Xuan Zeng, "Characterizing intra-die spatial correlation using spectral density method", pp. 718-723, IEEE International Symposium on Quality Electronic Design (ISQED'2008), U.S.A, 2008 📑 - Qiang Fu, Wai-Shing Luk, Jun Tao, Changhao Yan, Xuan Zeng, Intra-die Spatial Correlation Extraction with Maximum Likelihood Estimation Method for Multiple Test Chips, IEICE TRANSACTIONS on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences, Vol.E92-A,No.12,Dec. 2009 📚 --- count: false class: nord-dark, middle, center .pull-left[ ## Q&A 🎤 ] .pull-right[  ]